热门:为什么小姐姐能摇一晚上不倒

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数学模型

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前言

西安大唐不夜城《不倒翁》少女街头表演的录像整晚都在网上很受欢迎。 在大唐不夜城步行街，“不倒翁”的姐姐身姿轻盈，梦想着一颦一笑回到唐朝。

图1 .姐姐的成名作:帮帮忙

图2 .你不是也被这种小眼神迷住了吗？

很美，其实姐姐演技很辛苦。 不要看姐姐演出时身材轻盈，游刃有余。 这背后很辛苦。

图3 .带t型框底座，重250公斤

大唐不夜城的真人滚蛋演员都是层层选拔出来的，女演员的身高在163厘米左右，体重在50公斤以下。 因为表演需要将下半身完全固定在如图3所示的铁架上，所以只用腰部的力量来移动不倒翁的基础，表演不倒翁的演员每天结束表演，胯间和膝盖都要磨练。

雪人是最常见的玩具。 一般的形状像蛋形，轻而重，但倒了也自动站起来。 历史最初记载唐代的捕醉仙是一种雪人。 不倒翁的原理很难理解:上轻下重的物体比较稳定，重心越低越稳定。 在站立的状态下平衡时，重心和接触点的距离最小，即重心最低。 如果偏离平衡的位置，重心总是很高。 因此，这种状态的平衡是稳定的平衡。 所以雪人无论怎么摇晃，总是不会倒下。

图4 .雪人的原理左:雪人站立时重心最低。 右:当雪人偏离平衡位置时重心上升

但是，雪人到底是怎么运动的呢？ 姐姐是怎么操纵雪人，自由摆动的呢？ 本文建立了滚蛋小姐姐的数学模型，研究滚蛋运动方程，通过计算给出了小姐姐摇晃的最佳策略。

模型

首先不考虑姐姐的自发发力和地面的滚动阻力，制作简单的滚石模型。 在此基础上，建立考虑了姐姐自愿发力和地面滚动阻力的模型。

简单的雪人模型

我们只把雪人简化成二维平面(图5的

平面)内运动的半球。 半球和地面都是刚性的，两者没有滑动。 图5所示半球的质量

重心是

半球的球心

。

图5 .半球的重心

容易求出半球重心位置

和是对的

轴的转动惯量

当该半球某一时刻的位置如图6所示时，

半球的重力、地面面对半球的支撑力和摩擦力分别是

。 。 。

。

图6 .半球运动和受力分析图

为了明确运动方程式，有必要知道半球是如何运动的。 我们会用的

垂直立场变量和

说明半球的状态。 考虑缺点

。 。 。

的坐标

因此，质心

的速度是

在其中

。 。 。

是

。 。 。

对时间的一次微分。 将

点速度对时间求导数，得到质量中心的加速度

现在考虑作用于物体的所有力来研究运动方程式吧。 运动方程式不仅需要考虑刚体的平移，还需要考虑质量中心的旋转。

有三个方程，有四个未知数(

，

，

，

“是的”。 要解决这个问题，还需要描述接触条件的公式。 关于雪人，假设半球和地面的接触点没有滑动

或者

由此得到:

上式微分方程也可以从欧拉拉格朗日方程推导出来，有兴趣的网民可以自己尝试。 上式微分方程式可以通过matlab函数ode45函数给出数值解，结合式

可以完全明确半球的位置和立场。 计算结果如图7所示。

图7a .理想的雪人模拟动画

图7b .立场

、角速度

及重心高

随着时间的推移而变化

仿真结果表明，如果地面没有滚动阻力(机械能守恒)，雪人会不断摇晃。 立场

0点速度，角速度

最大，重心

在最下面。

不倒翁姐姐的模型

前面只展示了一个雪人玩具在理想地面上的运动状态。 其实小不倒翁的底座在摇晃的时候受到了滚动阻力，姐姐的腰不停地扭来扭去。 为了知道姐姐是怎么摇晃的，接下来制作考虑了滚动阻力和姐姐摇晃的模型。

根据网上视频和图像，假设整个雪人的台座很重

kg，根据质量

公斤，半径是多少

m，厚度

m的铁制半球状的圆壳和质量

公斤，半径是多少

的球缺(

)由配重及托架(托架的质量忽略不计)组成。 姐姐的身高

体重

。 如图8左图所示。

图8 .不倒翁姐姐的模型图

实际摇晃的时候，姐姐只要摇动上半身就能摇动基座。 因此，可以将姐姐简化为通过铰链连接的两个圆柱(图8 )。 姐姐的密度

，容易求出圆柱的半径

m。 假设你比姐姐的腰长

m，腰以上的长度

m。 姐姐的腰部以下固定在t字型的支架上，所以将姐姐的下半身和底座视为一体(图8右图)。 质量是多少

kg，转动惯量是多少

。 姐姐上半身的质量

kg，转动惯量是多少

。

8右图为2份受力分析，以姐姐上半身下半身的力为力简化而成

和力矩

。 在基座实际滚动的过程中，由于地面和基座的变形，地面面对基座的支承力

没有的作用点

点，偏离距离

可以用滚动阻力系数给出。 和简单的滚蛋模型一样，我们可以定义

和，

和，

和，

。 。 。

给出坐标、速度、加速度，分别给出系统两部分的动力学方程，对台座和姐姐下半身组成的整体

在姐姐的上半身

以上六式及

能解开。

公式很多，这里不列出。 姐姐可以经过。

属性。

也就是说姐姐通过摆动上半身可以摇晃整个不倒翁的底座。 如果你姐姐在摇晃

随着时间的推移感到满意:

在其中

如果是摇晃幅度，

是摇晃的周期。

求解

经过我们的分解，终于得到了姐姐的摇晃方程。 但是，有人说不擅长方程式，不想看方程式。 我必须看姐姐的摇晃。 没办法，为了满足网民的要求，必须写matlab程序进行模拟。 基于滚石的摆动方程式可以用ode45函数直接求解，但为了加快程序的执行速度进行实时显示，用Euler法求出，采取时间步长

s。 模拟的第一步是。

通过时间明确上半身相对于台座的立场

、角速度

及角加速度

根据角速度更新立场:

根据角加速度更新角速度:

其中的角加速度

用运动方程式给定。

明确基础的球心

水平位置:

。

根据台座的球心

的水平位置，以及基座的转动立场，明确半圆位置。

更新时间步骤

。 如果是这样的话

s，结束； 否则，请转至步骤1。

为了模拟的视觉效果，必须动态展示结果。 为此写了用于画底座半圆和姐姐的函数。 绘图结果如图9所示。 很多人看到我画的姐姐吓了一跳:真的很像，把姐姐妙曼的样子表现得淋漓尽致，这双大长腿，这纤细的玉手。

图9 .姐姐和半球

根据运动方程式计算出某个时刻的半圆心的位移和立场，则需要半圆和姐姐的平移和旋转，平移变得容易。 可以使用以下公式进行旋转:

上式表示点

绕道。

旋转

拐角。 将上式写成matlab函数rotxy。

结果

为了研究姐姐通过摆动上半身是如何摇晃台座的。 我们根据情况研究了台座摇晃的规律。

姐姐不摇晃的话，摇晃幅度

同时没有滚动阻力，即

时，模型退化为简单的雪人模型

结果如图10所示。

图10a .没有滚动阻力，姐姐不会摇晃的模拟动画

图10b .没有滚动阻力，姐姐不躺下的话立场和腰部用力的变化

结果发现，即使姐姐不摇晃，也会对姐姐的腰部施加周期性的力。 如果考虑滚动阻力的话

结果如图11所示。

图11a .有滚动阻力，姐姐不摇晃的模拟动画

图11b .有滚动阻力，姐姐不躺下的话立场和腰部用力的变化

结果表明，滚动阻力使滚石底座逐渐不摇晃。 也就是说，在现实情况下，为了维持不倒翁底座的摇晃，姐姐必须不断摇晃身体。

接下来讨论摇晃姐姐身体的周期对不倒翁基础运动的影响。 如果你姐姐在摇晃身体

。 根据研究，姐姐身体的摇晃和不倒翁底座的摇晃之间产生共振效果，姐姐摇晃身体的周期时

s的情况下，以雪人为基础的摇晃幅度最大，结果如图12所示。

图12a .姐姐摇晃周期2.18 s的模拟动画

图12b .姐姐摇晃周期为2.18 s时的立场和施加在腰部上的力的变化

更小的周期(例如:

s，结果参照图13 )以上周期(例如

s，结果参照图14 )都不能大幅度摇晃知识库。

图13a .姐姐摇晃周期1 s的模拟动画

图13b .姐姐摇晃周期为1 s时的立场和施加在腰部上的力的变化

图14a .姐姐摇晃周期为3 s的模拟动画

图14b .姐姐摇晃周期为3 s时的立场和施加在腰部上的力的变化

结论

通过运动和受力分解，可以求解不倒翁姐姐的运动方程式，明确姐姐和台座共振的最佳摆动周期。

姐姐大幅度摇晃的最佳周期是2.2 s左右。 姐姐以这个周期不停地摇晃，大约一个小时就摇晃

“是的”。

在本文的最佳周期模拟中，姐姐的摇晃幅度约为

这相当于摇晃1 m左右的距离，以一个周期腰部运动的距离约为4 m。 姐姐腰部的平均水平发力在130 n左右。 在这个周期里，姐姐做着约520 j的工作，所以每隔一个小时做着约850 kj的工作。 因为只考虑水平方向的力，其实这低估了姐姐实际上在工作。

根据上面两个结论，“不倒翁”姐姐整晚甩真的很累，对“不倒翁”姐姐好啊！

听说很多大众都模仿“不倒翁”的姐姐摇了摇头。 请小心模仿。 另外，整形外科的专家也警告要注意模仿。

参考资料

[1]曲江新区，不倒翁姐姐的秘密终于隐藏了: kuaibao.qq/s/xac112600405400？ refer=spider

百度百科，冯佳晨: baike.baidu/item/冯佳晨/24144236

[3]南京晨报、西安“不倒翁”女孩的表演在网上很受欢迎，大家都想牵着她的手！ : new.qq/omn/1117/1117a03d2i00

[4]roly-poly toy --- wikipedia，ThefreencycloPedia:En.WikiPedia/WikiPedia/Roly-Poly _ toy

[5] massmomentofinertiaofahemisphere:bli tiri.blogspot/05/mass moment-of-inertia-of-hemisphere

[6] Euler–LA grange equation-- WikiPedia，ThefreencyCloPedia:En.WikiPedia/WikiPedia/Euler-LA grange _ equati

[7] bodycompositionduringgrowthinchildren:limitationsandperspectivesofbioelectricalimpedanceanalysis:NCBI.NLM.NIH .。

来源:数学模型

原标题:“为什么姐姐整夜躺着不倒下？”

阅读原文。